Also das erste was mir gleich aufgefallen ist (in der kontaktformular-auswerten.php):
<?php
...
if(isset($_SESSION['rechen_captcha_spam']) AND $sicherheits_eingabe == $_SESSION['rechen_captcha_spam']){
unset($_SESSION['rechen_captcha_spam']);
<html>
<head>
<title>Kontaktformular mit PHP</title>
</head>
<body>
<?php
.....
Hier machts du PHP nicht zu, schreibst aber dann dein HTML weiter...
Versuchs mal so:
<?php
...
if(isset($_SESSION['rechen_captcha_spam']) AND $sicherheits_eingabe == $_SESSION['rechen_captcha_spam']){
unset($_SESSION['rechen_captcha_spam']);
?>
<html>
<head>
<title>Kontaktformular mit PHP</title>
</head>
<body>
<?php
"Lasst die Software aus ihrem Käfig, damit sie eine blutige Spur von Designern und Qualitätsprüfern hinter sich herzieht."
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